圆周率的值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的?那引力场方程中的π在计算时取什么值?

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所属分类:浩瀚星途
摘要

谢邀。确实,圆周率的数值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的。在欧几里得几何中,也就是在平直空间中,圆的周长与直径之比是恒定的常数——圆周率π,这是一个无理数,为3.1415926…。但在非欧几何中,圆周率就不是

谢邀。

确实,圆周率的数值在不同曲率的弯曲空间中是不一样的。在欧几里得几何中,也就是在平直空间中,圆的周长与直径之比是恒定的常数——圆周率π,这是一个无理数,为3.1415926…。但在非欧几何中,圆周率就不是一个常数。

非欧几何中的圆周率

根据爱因斯坦的广义相对论,我们并非生活在欧氏空间中。由于空间中存在物质和能量,这会引发空间弯曲。质量密度越高的物体,所造成的空间弯曲程度越大,表现出的引力越强。

在弯曲的空间中,我们可以把圆的直径定义为连接圆上两点的最大测地线距离。取圆的周长与直径之比,结果不为欧氏几何中的π,而且也不是一个常数,与空间曲率有关。

根据黎曼几何,如果在曲率为正的空间中,例如,闭合的球体,圆周率会小于π,并且曲率越大,圆周率越小。另一方面,如果在曲率为负的空间中,例如,开放的马鞍面或者双曲面,圆周率会大于π。

事实上,还有比上述复杂得多的几何学,圆周率取决于圆在空间中的方向。正因为如此,曲率是由张量来衡量的,而不是一个简单的数字标量。在广义相对论中,表示曲率的是里奇张量。在平直时空中,里奇曲率张量等于0。

既然圆周率与曲率有关,那么,引力场方程中的π是常数吗?该如何取值?

如前所述,在弯曲空间中,圆的周长和直径之比并非一个常数。如果要定义这种圆周率的符号,显然需要引入一个张量符号,而不是像π这样的标量符号。

事实上,引力场方程中的π就是数学中欧氏几何的π,是一个完全确定的常数。在计算时,只要代入3.1415926…即可,无需考虑曲率,因为这里的π不是因为空间曲率而引入的。

那么,引力场方程中为什么会出现π呢?

从数学上可以证明,在弱场的情况下,上述的引力场方程可以退化成牛顿引力方程。牛顿的万有引力定律公式如下:

根据高斯定律,牛顿引力方程的泊松方程如下:

为了让引力场方程的弱场近似与万有引力定律的形式保持一致,需要把爱因斯坦引力常数κ(爱因斯坦张量与应力-能量张量的比值)定义为如下的形式:

这样,可以让引力场方程在弱场的情况下直接转变为万有引力定律,两种引力理论中的万有引力常数G都是通用的。

当然,也可以重新定义常数G,让比例系数κ中的π消失。只是这样做,会使得引力场方程和万有引力定律的转换需要绕个弯子,导致两者之间的联系没有那么直接和明确。

由于弱场极限满足高斯定律,而这会涉及到球的面积,所以必然会引入π。其实牛顿引力方程可以写成这样F=G'Mm/(4πr^2),其中G'=4πG。

总结

π的存在是为了让引力场方程在弱场下变成牛顿引力方程的形式F=GMm/r^2。如果不这样,爱因斯坦场方程经过弱场近似处理之后,得到的牛顿引力方程的分母中会出现π,不是我们所熟悉的形式,这样还需要重新定义G。

空间没有不同曲率,曲率只是人类唯心思想的产物,是人类主观对宇宙大自然客观几何的故意歪曲。因此圆周率在那里都是相同的!

只要是标准圆,π值就一样,拐七拐八的数学已经被带离了

试着发言下:首先,计算公式是否相同呢?不是物理专业,数学专业的。如果定义的计算公式相同,最后数值不同,需要分析误差产生原因,一种是系统误差,如果系统误差无法消除,个人认为必然是忽略了某个或某些变量的影响。欧氏几何和非欧几何是不同的数学模型,我个人理解为正交坐标系与非正交坐标系的区别。或者正交平面坐标系与非正交曲面坐标系的区别,在射影角度下,结果应该是一置的,应该分析产生误差的原因。

题主所说的问题其实是表面现象。

空间的曲率半径决定空间的曲率圆,无论在什么空间中,都是圆的周长与直径的比值,因此圆周率在不同的几何中数值是恒定的。

所谓的非欧几何与欧几里德几何的区别,就在平行公设的不同。平行线公理与三角形的三内角之和等于圆周率是等价命题,因此三种几何的平行公设分别如下:

欧几里德几何的平行公设:三角形三内角之和等于180度。

罗巴切夫斯基几何的平行公设:三角形三内角之和小于180度。

黎曼几何的平行公设:三角形的三内角之和大于180度。

按照罗巴切夫斯基的平行公设,空间形式是欧几里德空间的双曲面;按照黎曼几何的平行公设,空间形式是欧几里德空间的椭圆面。

因此,罗巴切夫斯基几何与黎曼几何中不存在欧几里德几何中的直线,罗巴切夫斯基几何与黎曼几何中的直线都是欧几里德几何中的射影曲线,由三条射影曲线构成的三角形的三内角之和自然不等于180度。

但是,在三种几何学中,曲率半径的射影形式相同,都为欧几里德空间中的直线。曲率半径决定的曲率圆也具有相同的射影形式,都为欧几里德空间的平面圆。

由此可以得出:罗巴切夫斯基几何与黎曼几何,最终都是以欧几里德几何为基础的;如果欧几里德几何中的圆不成立,那么非欧几何中的圆也不成立。因此,圆周率是适用三种几何学的共同常数,也是三种几何学在射影形式下统一的基础。

无论是爱因斯坦还是黎曼,都不可能凭空捏造出不同于欧几里德圆的圆周率来;无论他们如何不喜欢欧几里德几何,也不能不以欧几里德几何为基础建立自己的曲面几何。

非欧几何的尴尬就在于,无法消除曲率半径这一欧几里德几何中的直线,因此也无法消除曲率圆与欧几里德圆的共同射影形式。因此,当面对无穷大与无穷小时,非欧几何立刻被打回原形,都统一在了欧几里德空间里。

爱因斯坦也一样,当引力场方程在充分小的空间展开时,也被打回了原形,最终不能不回到牛顿的万有引力定律去。当空间为无穷大时,引力场方程也一样,变成了牛顿的万有引力定律。

所谓的广义相对论,不过是黎曼曲面空间里的引力神话罢了!

你可以认为圆周率是个极限,在所有连续曲率空间是一样的。

这和不同曲率弯曲空间中的圆周率没毛关系。这个pi指的就是3.14……,就是欧氏空间中的圆周率!

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