圆周率π有没有可能根本不是无理数?

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摘要

根本没有可能,因为π是无理数,有严格的数学证明。最早,认为π是无理数的是古希腊的亚里士多德,他断言:圆的周长与直径不可共度!所谓,共度,指的是:对于圆的周长C和直径D,存在某个长度为r的尺子,分别去测量C和D,得到的测量结果,都刚好整数个r,于是说r是C和D的公共度量数。C和D可共度,就是r存在,这时,C=a

根本没有可能,因为π是无理数,有严格的数学证明。


最早,认为π是无理数的是古希腊的亚里士多德,他断言:圆的周长与直径不可共度!

所谓,共度,指的是:对于 圆的周长 C 和 直径 D,存在 某个 长度为 r 的 尺子,分别去测量 C 和 D ,得到的测量结果,都刚好 整数个 r,于是说 r 是 C 和 D 的公共度量数。

C 和 D 可共度,就是 r 存在, 这时, C = a?r, D = b?r,a,b 为整数,于是 C/D = a?r/b?r = a/b 为一个有理数;C 和 D 不可共度,则 r 不存在, C/D 不能表示为 a/b ,是无理数。

德国数学家 约翰·海因里希·兰伯,于 1766年 第一个证明 了π 是无理数,他的证明方法如下:


首先,根据,麦克劳林公式,

我们可以很方便地得到:

于是,

其中,

其中,

其中,

其中,

到这里,规律已经很明显了!

我们,令 (n ≥ 2, k = k(n) = 2n -1),

显然,n = 2, 3, 4 时,即,前面的 θ?, θ?, θ? 都符合上式!我们来进一步化简上式:

单看,分子有:

令,m = j + 1,然后再令 j = m,依次代入上式,得到 (令, k?? = k(n+1) = 2(n+1) - 1 = 2n - 1 + 2 = k + 2):

再看,分母:

令,m = i + 1,然后再令 i = m ,依次代入上式,得到:

然后,有:

其中,

这样我们就得到了 tan x 的连分式:

然后,我们证明,当 x 是有理数时,tan x 一定是无理数,这里用反证法。

若 x 是有理数,则 x = b/a ,不妨设,b, a 为正整数,且 a > 1,带入 tan x 的连分式,有:

由于,b2 总保持不变,而 1a, 3a, 5a, 7a, ... 一直在增大,于是总存在 k = 2n - 1 使得 ka - b2 > 1,于是:

而 k??a > ka 于是 k??a - b2 > 1,所以:

于是:

进而得到:

不断重复,我们可得到:

假设,tan x 是有理数,则 上面的 连分数 都是 有理数,于是,令,

其中, A? 和 A?都是整数, 并且 A? > A? > 0。

变形上面的等式, 得到,

因为 k,a,b,A? ,A? 都是整数,所以 令 A? = kaA? - b2A?,则 A? 也是整数,并且有, A? > A? > A? > 0。

不断重复上面的过程,我们会得到一个无限的 严格递减 正整数序列:

A? > A? > A? > A? > A? > ... > 0

可是,不管 A? 有多大,小于 A? 大于 0 的 正整数 总是有限的,不可能存在 一个上面的 无限序列,矛盾! 故,假设 不成了,这样我们就证明了:

当 x 是 有理数时,tan x 一定是无理数。

最后,上面命题的逆反命题是:

当 tan x 是有理数时,x 一定是无理数。

而,我们知道 tan π/4 = 1 是有理数,故, π/4 一定是无理数,从而 π = π/4 ? 4,是 无理数 和 非零有理数 之积,是 无理数!


以上是基于初等数学的证明,比较繁琐,美国数学家 伊万·尼云,在 1974年,给出了 一个非常优美的证明。

这里,我们先引入 一个多项式 函数。

根据,牛顿二项式定理:

有:

等式两边同乘以 x?/n! ,有:

令,t = i + n,再令 i = t,依次代数上式,有:

令,

让 n ≥ 1, 我们得到 函数:

函数 f(x) 是 多项式,并且有如下特点:

  • 由于,c? 是 组合数(或 负组合数)所以 c? 一定是 整数;
  • 当 0 < x < 1 时,0 < 1 - x < 1, 0 < x?(1 - x)? < 1,于是 0 < f(x) < 1/n!;
  • 对于所有 k ≥ 0 , f???(x) 在 x = 0 或 1 时,都是 整数,证明如下:

当 0 ≤ k < n 时,

故 f???(0) = 0 是整数;当 n ≤ k ≤ 2n 时,

故 f???(0) = c_k?k!/ n! = c_k?k???(k-n) 是 整数;当 k > 2n 时,

故 f???(0) = 0 是整数。

由于,

所以,

故 f???(1) = (-1)?f???(0) 也是整数。

然后,我们 正式 π 是无理数,因为 如果 π 是有理数,则 π2 有理数 乘以 有理数 还是 有理数,于是 只要 证明 π2 是无理数,可以了。这里使用反证法。


假设 π2 是有理数,则 π2 = a/b, 其中 a, b 均为 正整数。利用 f(x) 偶数阶导数,定义另外一个多项式:

则:

于是,得到:

接下来是关键,考虑:

等式两边 除以 π, 有:

等式两边,同时 对区间 [0, 1] 定积分,令 该定积分为 S,有,

根据 f(x) 的性质 3,我们知道 F(1) 和 F(0) 都是 整数,故 S 为整数。

另一方面,由于 a, f(x) > 0 ,而 在 区间 (0, 1) 内 sin πx > 0, 所以 πa?f(x)sin πx 在 区间 (0, 1) 是正的,故 积分 S > 0。

再根据,f(x) 的性质 2,有,

由于,n! 是比 2a? 增长更快的函数,

所以,总算是存在 足够大 的 n ,使得 2a? < n!,这时:

由于,0 和 1 之间不存在 整数, 所以 S 不可能 是 整数,这与 上面得到 S 是整数的结论 矛盾,假设不成了,于是 π2 是无理数。


当然,证明π是无理数,还有很多方法,以上 只是最流行的两种。

(感谢大家阅读!小石头数学水平有限,出错在所难免,欢迎广大条友批评指正!)

没有任何可能性!原因很简单,数学家们早就证明了π确实是无理数,证明过程并不太复杂,这里不再详述,有兴趣的简单搜索就能找到答案!

所以,既然已经证明了π是无理数,它就是无理数,不可能是有理数!不过很多人对π是无理数感到有些不解。

数学上的定义,π就是圆周长与直径的比,圆周长和直径都是线段,线段的长度不应该是固定的吗?它们比值怎么会是无理数呢?

很明显,很多人把“固定的数”与“无理数”弄混了,任何数都是固定的数,无理数也是如此,π是固定的数与1是固定的数本质上是一样的,同理,根号2也是固定的数!不能因为无理数是无限不循环的就说它们是不固定的数!

另外需要明白一点,1和1厘米(或者π和π厘米,任意数都一样)有本质区别,1是数学定义,它就是1,而1厘米是现实或许物理上的定义,你不但画不出π厘米的线段,也画不出正好是1厘米的线段,说白了,你画不出任何精确长度的线段,因为误差是永远存在的,不可能存在绝对的精确值!

π是无理数,某中意义上也说明了没有真正的圆,说白了,圆就是正N边形(N趋于无穷大)!

圆周率π是数学和物理中十分常见的常数,它经常出现在各种数学物理方程中,就连爱因斯坦广义相对论的引力场方程中也有圆周率的身影。圆周率的定义很简单,即为圆的周长与其直径之比。

不过,我们并不能根据圆周率的定义来直接测量出圆周率。因为圆的周长和直径不可能十分精确地测出来,这样就无法得到圆周率的精确值。

那么,圆周率是如何得到的呢?

最初,数学家通过割圆术来计算圆周率。通过做圆的正内接多边形和正外接多边形,边做得越多,正多边形越接近于圆。通过计算正多边形的边长或者面积,可以算出圆周率的上下限。1500多年前的中国数学家祖冲之就是通过这种方法准确算出圆周率小数位的前七位,这个精度曾经领先世界一千年。

此后,数学家发现圆周率可以用无穷级数来表示,常见的公式包括:

项数计算得越多,圆周率也算得越精确。目前,结合计算机与收敛速度非常快的无穷级数,人类已经算出了圆周率小数位的前31.4万亿位。不过,圆周率一直没有算到尽头,最后一位是什么人们不得而知。

那么,圆周率是否能够算尽呢?

尽管圆的周长和直径都是存在的,但它们都不可能同时是有理数。数学家通过多种不同的方法证明,圆周率是算不尽的,它的小数位是无限不循环的,这是一个无理数。因此,圆的周长和直径之中最多只有一个有理数,例如,圆的直径为1,周长为π;圆的直径为1/π,周长为1。

另外,圆周率也不是只有在十进制下才算不尽。事实上,除了nπ进制,其他进制下的圆周率也都是无理数。可以说,圆周率的这种特性是我们宇宙时空的一个基本性质。倘若宇宙中有外星文明,他们也会发现同样的结论。

虽然圆周率算不到最后一位,但假设圆周率被算尽了,会出现怎样的后果呢?圆还会存在吗?我们所生活的宇宙会发生什么变化?

在这种情况下,绝对光滑的曲线是不存在的,圆并非完全光滑的,它们其实是由有限边的正多边形所组成。通过割圆术,可以让圆分割到尽头。

圆周率是有理数,随之会带来的一个巨大问题是微积分不会成立,与微积分有关的公式都是错误的。现有的数学公理体系都是错误的,数学的严密逻辑存在巨大漏洞,人类数千年来构建的数学大厦将会倒塌。从另一方面来说,这将会开启一个数学的黄金时代,还有一片更加广阔的“数学大陆”有待发现。

圆周率的变化将会深刻地影响到我们的宇宙,因为我们现在的宇宙是基于圆周率为无理数的前提而存在的。如果圆周率成了有理数,时空的性质将会发生变化,宇宙中的各种常数和物理定律也有可能发生变化,这甚至可能会导致宇宙无法形成。

当然,在我们的宇宙中,圆周率不可能被证明是有理数。数学不像物理学,物理常数需要基于测量(被认为定义的真空光速是特别的),而数学常数是完全确定的数值,在逻辑上可以严格推导出来。圆周率被算尽的情况只有可能发生在其他平行宇宙中(如果平行宇宙存在的话),那种宇宙的物理定律与我们完全不一样。

证明不了丌不是无理数。丌不仅是无理数,而且人们还证明了丌是超越数。(代数数与超越数)。

园周率π,是园周长与园直径的比值,其结果是常数,且是无理数,在现有数学体系中,这个结果不会改变。

简单地说,pi是无理数已经早就被严格证明了。如果pi是有理数,宇宙的样子都不会是现在这样子

pi有多种算法,虽然过程不同但是结果殊途同归,最终结果都是指向无理数,多数人能记得的方法一般是把圆内接等多边形与外接等多边形,当内接与外接多边形面积或者周长完全相等时这两个多边形就完全重合并且成了一个圆,然而无论这两个多边形有多少边时它们都不会重合,只有当它们有无数条边的时候才会重合,假设圆的周长是1,那么这个多边形的周长要达到1,只能是无数条边,所以pi不可能是有理数

按照割圆法计算圆周率的方法,如果π真的可以整除,那就说明“圆”其实是个多边形,只是每条边太短太短了,边的数量太多太多了。

割圆法计算误差太大,兀是有理数!

宇宙充满了球体,球体表面没有直线,所以,圆的直径也是弯的,弯的大于直的,故π值永远都不会是现在的数。

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